結論から言うと、よもぎ蒸しセットのみであれば公衆浴場の許可は不要です。ただ、地域によっては見解が異なる場合もあるようなので、必ずお住いの地域の市役所当に問い合わせる事を推奨します。
公衆浴場許可とは
公衆浴場とは、温湯、潮湯又は温泉その他を使用して、公衆を入浴させる施設の事をさします。
一般公衆浴場や、ヘルスセンター、サウナ風呂、特殊公衆浴場などがそれに該当します。
第一条 この法律で公衆浴場とは、温湯、潮湯又は温泉その他を使用して、公衆を入浴させる施設をいう。よって、公衆浴場を営業する場合は、必ず都道府県知事の許可が必要。
とあります。さて、よもぎ蒸しは上記に該当するのでしょうか。
保健所の回答（横浜市）
私が住んでいる横浜市の保健所にも問合せてみたことろ、よもぎ蒸しは、部屋全体がサウナ機能をもたらすものではなく、あくまでもマントの中で温まるものであるため、「公衆浴場」という概念には該当しないとのことでした。
ただこれは、横浜市の保健所の見解なので、地域によっては異なる可能性もあるとも言っていました。
しかし同時に、小型の施設（ご自宅の一室など）で営業する場合や、よもぎ蒸し以外のサービスを同時に提供していいなければ、特段心配する必要も無いとのことです。